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    [技術]電磁場幾何和衍射理論的統(tǒng)一 [復制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 05-30
    在物理光學中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結合在一個非序列場追跡概念中。進一步的，快速物理光學概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據處于哪一個場域，使用常規(guī)或幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過所謂的雙向算子仿真光學組件的效應。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結合產生了一種物理光學理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應用了幾何和衍射模型。 U#1yl6e\I  
    Tx?@* Q  
    1.場追跡圖 !/(}meZj  
     <sFf'W_3{  
    一個光學系統(tǒng)的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導致所有通過系統(tǒng)中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區(qū)域，例如光學器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規(guī)定了在下一個組件平面上的場，其中組件的響應由算子B給出。這些算子應用于x域或k域。一個光路的模型可以由所謂的場追跡圖說明，圖1給出了相應的例子。 H=BR -  
    Joo)GIB  
    圖1 物理光學中一個光路的場追跡圖模型。參數j指明了應用算子的場參考平面。 :pjK\  
    盡管電磁場包含六個場分量，場追跡算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個分量可以根據E┴的需求計算。在k域中，這些計算遵循簡單的代數方程。 4aGpKvW  
    自由空間算子方程由 給出，輸入平面場為 ，輸出平面（輸入平面的下一個算子）的結果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數值計算成本的衍射積分，但在k域中，對于平行平面和非平行平面的附加坐標變換，我們則有簡單的表達式（ ） i\z0{;f|GX  
      (1) ! tPK"k  
    通過選擇常規(guī)或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學選擇k域的一個重要原因。另一個原因是可以從 快速代數計算 和 。下面將介紹場追跡算法中的B算子。 9a Ps_|C  
     257;@;  
    2.雙向算子 ^yZSCrPGI  
     Oc+L^}elJ  
    空間域中我們有B算子 ，并且類似的在k域中有 。兩個域中的算子都有矩陣形式，例如k域為 qq%_ksQ  
       &J@ZF<Ib  
    (2)     cCKda3v!O  
    這個矩陣中每一個算子都代表一個積分運算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω） juYt =  
    uOUw8  
    (3)     ?iO^b.'I#  
    其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場分量的位置標識符， B表示公式2中一個矩陣元素的積分核函數。因為(kx,ky)代表k域中傳輸的平面波的方向，在K²的子集中核函數也可以被理解成方向角度的函數，說明了B是電磁場的雙向散射分配函數（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場能量效應。 &'2l_b  
    a#Gq J?nY  
    "MP{z~M mj  
    圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場，通過有限元方法（FEM）計算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計算。在下圖中展示了兩種方法的結果，平面中結果場的振幅標為紅色。由Rui Shi提供。 G%/cV?18  
    這必然被包含在了公式3中。因為BSDF的關系，我們選擇 作為雙向算子或者簡化B算子�？偟膩碚f，計算B(k,k')和它在公式3中積分計算的應用需要大量的數值計算而且很慢。但是，在分層介質情況下，我們可以得到簡化的形式，減少了乘積的積分，并且能夠快速計算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個效應，這在圖1中通過第一個B算子解釋了。當然光學的主要任務是研究電磁場傳播通過兩種介質間的一般表面，例如透鏡模型。 h4xdE 0  
    dsoRPX']=  
    3.幾何算子  cJ{P,K  
     mYRR==iDL  
    一般表面對場的影響可以通過有限元法（FEM）來計算，但是對于大多數情況來說，數值計算成本太高。如果表面的結構不是很小，在大多數實際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質的已知解進行局部計算。圖2比較了正弦表面光柵時FMM和LPIA的計算結果，結果顯示LPIA對該效應預測的很好，即使是表面上非常小的特征。事實上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計算公式3中B(k,k')包括矢量效應（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計算雙向算子，我們仍然需要進行公式3中大量的數值積分計算。這導致了LPIA和幾何傅里葉變換的結合[3]。如果我們假設輸入場和輸出場在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論 Z{)|w=  
      (4)