第 4 章 教 程
i>e?$H,/ ZdgzPs " 習作一：單鏡片(Singlet)
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H YO9;NA{sH 你將學到：啟用Zemax，如何鍵入wavelength，lens data，產(chǎn)生ray fan，OPD，spot diagrams，定義thickness solve以及variables，執(zhí)行簡單光學設計最佳化。
oS^KC}X 設想你要設計一個F/4單鏡片在光軸上使用，其focal length 為100mm，在可見光譜下，用BK7鏡片來作。
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db 首先叫出ZEMAX的lens data editor(LDE)，什么是LDE呢？它是你要的工作場所，譬如你決定要用何種鏡片，幾個鏡片，鏡片的radius，thickness，大小，位置……等。
7=gcdfW,;x 然后選取你要的光，在主選單system下，圈出wavelengths，依喜好鍵入你要的波長，同時可選用不同的波長等�，F(xiàn)在在第一列鍵入0.486，以microns為單位，此為氫原子的F-line光譜。在第二、三列鍵入0.587及0.656，然后在primary wavelength上點在0.486的位置，primary wavelength主要是用來計算光學系統(tǒng)在近軸光學近似(paraxial optics，即first-order optics)下的幾個主要參數(shù)，如focal length，magnification，pupil sizes等。
i!)\m0Wm 再來我們要決定透鏡的孔徑有多大。既然指定要F/4的透鏡，所謂的F/#是什么呢？F/#就是光由無限遠入射所形成的effective focal length F跟paraxial entrance pupil的直徑的比值。所以現(xiàn)在我們需要的aperture就是100/4=25(mm)。于是從system menu上選general data，在aper value上鍵入25，而aperture type被default為Entrance Pupil diameter。也就是說，entrance pupil的大小就是aperture的大小。
LkXho>y 回到LDE，可以看到3個不同的surface，依序為OBJ，STO及IMA。OBJ就是發(fā)光物，即光源，STO即aperture stop的意思，STO不一定就是光照過來所遇到的第一個透鏡，你在設計一組光學系統(tǒng)時，STO可選在任一透鏡上，通常第一面鏡就是STO，若不是如此，則可在STO這一欄上按鼠標，可前后加入你要的鏡片，于是STO就不是落在第一個透鏡上了。而IMA就是imagine plane，即成像平面。回到我們的singlet，我們需要4個面 (surface)，于是在STO欄上，選取insert cifter，就在STO后面再插入一個鏡片，編號為2，通常OBJ為0，STO為1，而IMA為3。
bE?X?[K 再來如何輸入鏡片的材質為BK7。在STO列中的glass欄上，直接打上BK7即可。又孔徑的大小為25mm，則第一面鏡合理的thickness為4，也是直接鍵入。再來決定第1及第2面鏡的曲率半徑，在此分別選為100及-100，凡是圓心在鏡面之右邊為正值，反之為負值。而再令第2面鏡的thickness為100。
f$ 7 C 5 現(xiàn)在你的輸入數(shù)據(jù)已大致完畢。你怎么檢驗你的設計是否達到要求呢？選analysis中的fans，其中的Ray Aberration，將會把transverse的ray aberration對pupil coordinate作圖。其中ray aberration是以chief ray為參考點計算的�？v軸為EY的，即是在Y方個的aberration，稱作tangential或者YZ plane。同理X方向的aberration稱為XZ plane或sagittal。
7 j6 < Zemax主要的目的，就是幫我們矯正defocus，用solves就可以解決這些問題。solves是一些函數(shù)，它的輸入變量為curvatures，thickness，glasses，semi-diameters，conics，以及相關的parameters等。parameters是用來描述或補足輸入變量solves的型式。如curvature的型式有chief ray angle，pick up，Marginal ray normal，chief ray normal，Aplanatic，Element power，concentric with surface等。而描述chief ray angle solves的parameter即為angle，而補足pick up solves的parameters為surface，scale factor兩項，所以parameters本身不是solves，要調整的變量才是solves的對象。
us +z8Mz 在surface 2欄中的thickness項上點兩下，把solve type從fixed變成Marginal Ray height，然后OK。這項調整會把在透鏡邊緣的光在光軸上的height為0，即paraxial focus。再次update ray fan，你可發(fā)現(xiàn)defocus已經(jīng)不見了。但這是最佳化設計嗎？再次調整surface 1的radius項從fixed變成variable，依次把surface 2的radius，及放棄原先的surface 2中thickness的Marginal Ray height也變成variable。再來我們定義一個Merit function，什么是Merit function呢？Merit function就是把你理想的光學要求規(guī)格定為一個標準(如此例中focal length為100mm)，然后Zemax會連續(xù)調整你輸入solves中的各種variable, 把計算得的值與你訂的標準相減就是Merit function值，所以Merit function值愈小愈好，挑出最小值時即完成variable設定，理想的Merit function值為0。
1>Q4&1Vn 現(xiàn)在談談如何設Merit function，Zemax 已經(jīng)default 一個內建的merit function，它的功能是把RMS wavefront error 減至最低，所以先在editors中選Merit function，進入其中的Tools，再按Default Merit Function 鍵，再按ok，即我們選用default Merit function ，這還不夠，我們還要規(guī)定給merit function 一個focal length 為100的限制，因為若不給此限制則Zemax會發(fā)現(xiàn)focal length為時，wavefront aberration的效果會最好，當然就違反我們的設計要求。所以在Merit function editor第1列中往后插入一列，即顯示出第2列，代表surface 2，在此列中的type項上鍵入EFFL(effective focal length)，同列中的target項鍵入100，weight項中定為1。跳出Merit function editor，在Tools中選optimization項，按Automatic鍵，完畢后跳出來，此時你已完成設計最佳化。重新檢驗ray fan，這時maximum aberration已降至200 microns。
f+1@mGt 其它檢驗optical performance還可以用Spot Diagrams及OPD等。從Analysis中選spot diagram中的standard，則該spot大約為400 microns上下左右交錯，與Airy diffraction disk比較而言，后者大約為6 microns交錯。
i h-J{1 而OPD為optical path difference(跟chief ray作比較)，亦從Analysis中挑選，從Fans中的Optical Path，發(fā)現(xiàn)其中的aberration大約為20 waves，大都focus，并且spherical，spherochromatism及axial color。 Zemax 另外提供一個決定first order chromatic abberation 的工具，即 the chromatic focal shift plot，這是把各種光波的back focal length跟在paraxial上用primary wavelength 計算出first order的focal length之間的差異對輸出光波的wavelength 作圖，圖中可指出各光波在paraxial focus上的variation。從Analysis中Miscellaneous項的Chromatic Focal Shift即可叫出。
}$i/4?dYsQ O L 9( ~p _!,Ees=b 習作二：雙鏡片
*/2n h%>$ p>B-Ub u 你將學到：畫出layouts和field curvature plots,定義edge thickness solves, field angles等。
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#5~WP 一個雙鏡片是由兩片玻璃組成，通常黏在一起，所以他們有相同的curvature。借著不同玻璃的dispersion性質，the chromatic aberration可以矯正到first order所以剩下的chromatic aberration主要的貢獻為second order，于是我們可以期待在看chromatic focal shift plot圖時，應該呈現(xiàn)出parabolic curve的曲線而非一條直線，此乃second order effect的結果（當然其中variation的scale跟first order比起來必然小很多，應該下降一個order）。
SEVB.; 跟習作一一樣，我們仍然要設計一個在光軸上成像，focal length為100mm的光學系統(tǒng)，只不過這次我們用兩塊玻璃來設計。
F^81?F i. 選用BK7和SF1兩種鏡片，wavelength和aperture如同習作一所設，既然是doublet，你只要在習作一的LDE上再加入一面鏡片即可。所以叫出習作一的LDE，在STO后再插入一個鏡片，標示為2，或者你也可以在STO前在插入一面鏡片標示為1，然后在該鏡片上的surface type上用鼠標按一下，然后選擇Make Surface Stop，則此地一面鏡就變成STO的位置。在第一、第二面鏡片上的Glass項目鍵入BK7即SF1，因為在BK7和SF1之間并沒有空隙，所以此doublet為相黏的二鏡片，如果有空隙則需5面鏡因為在BK7和SF1間需插入另一鏡片，其glass type為air�，F(xiàn)在把STO旱地二面鏡的thickness都fixed為3，僅第3面鏡的thickness為100且設為variable，既然要最佳化，還是要設merit function，注意此時EFFL需設在第三面鏡上，因為第3面鏡是光線在成像前穿過的最后一面鏡，又EFFL是以光學系統(tǒng)上的最后一塊鏡片上的principle plane的位置起算。其它的merit function設定就一切照舊。
$O%"[w 既然我們只是依習作一上的設計規(guī)范，只不過再加一面SF1鏡片而已，所以其它的merit function設定就一切照舊。現(xiàn)在執(zhí)行optimization，程序如同習作一，在optimization結束后，你再叫出Chromatic Focal Shift來看看，是否發(fā)現(xiàn)first order的chromatic aberration已經(jīng)被reduced，剩下的是second order chromatic aberration在主宰，所以圖形呈現(xiàn)出來的是一個parabolic curve，而且現(xiàn)在shift的大小為74 microns，先前習作一為1540 microns。
b0Dco 0U( 再看其它的performance效果，叫出Ray aberration，此時maximum transverse ray aberration已由習作一的200 microns降至20 microns。而且3個不同波長通過原點的斜率大約一致，這告訴我們對每個wavelength的relative defocus為很小。再者，此斜率不為0(比較習作一Fig E1-2)，這告訴我們什么訊息呢？如果斜率為0，則在pupil coordinate原點附近作一些變動則并不產(chǎn)生aberration代表defocus并不嚴重，而aberration產(chǎn)生的主要因素為spherical aberration。故相對于習作一(比較他們坐標的scale及通過原點的斜率)，現(xiàn)在spherical aberration已較不嚴重(因為aberration scale已降很多)，而允許一點點的defocus出現(xiàn)，而出現(xiàn)在rayfan curve的S形狀，是典型的spherical balanced by defocus的情況。現(xiàn)在我們已確定得到較好的performance，但實際上的光學系統(tǒng)長的什么樣子呢？選擇Analysis，Layout，2D Layout，除了光學系統(tǒng)的擺設外，你還會看到3條分別通過entrance pupil的top，center，bottom在空間被trace出來，他們的波長是一樣的，就是你定的primary wavelength(在此為surface 1)。這是Zemax default的結果。
[iZH[7&j 但是現(xiàn)在還有一個問題，我們憑直覺定出STO的thickness為3，但是真正在作鏡片的時候，STO和surface 2鏡面會不會互相交錯穿出，即在edge的thickness值為正數(shù)或負數(shù)，還有是不是應該改一下設計使lens的aperature比diameter小，如此我們可預留些邊緣空間來磨光或架鏡。
4: 5M,p 于是我們可能更改的是diameter，STO的thickness來解決上述問題。先在STO的diameter上鍵入14來蓋過12.5，此時會有一個”U”字出現(xiàn)代表user define，現(xiàn)在設想我們要edge thickness固定為3mm，可是你或許會問這樣系統(tǒng)豈不是弄亂了嗎？defocus又會出現(xiàn)，關鍵是再一次執(zhí)行optimization即可。在STO的thickness上按一下，選擇Edge Thickness項目，則會出現(xiàn)”Thickness”及”Radial Height”兩項，設thickness為3及radial height為0(若radial height為0，則Zemax就使定user define的semi-thickness)按OK跳出，你會發(fā)現(xiàn)STO的thickness已改變，且會出現(xiàn)一個”E”字代表an active thickness solve在該項的parameter上。
m`}mbm^ 既然edge thickness已改變，所以focal length也一定有些許變動，為了維持原有的EFFL，現(xiàn)在再執(zhí)行optimization一次即可�，F(xiàn)在我們想看看off-axis的performance，從system的Fields中的Field Data，選用3個field來作比較，怎么選呢？在第2及第3個列中的”Use”項中各按一下，在第2列的y field行中鍵入7(即7 degree)，在第3列中鍵入10，第一列則讓它為0即持續(xù)on-axis。而設所有的x field皆為0，對一個rotational對稱的系統(tǒng)而言，他們的值很小，按OK鍵跳出。現(xiàn)在Update rayfan，你可看到如Figure E2-4之圖。圖中T代表tangential，S為sagittal，結果顯示off-axis的performance很差，這是因為一開始我們就設計系統(tǒng)在on-axis上來作optimization，這些aberration可以用field curvature plot來估計，選Analysis中，Miscellaneous的Field Curv/Dist。則出現(xiàn)如Figure E2-5的圖，左圖表示shift in paraxial focus為field angle的函數(shù)，而右圖為real ray的distortion，以paraxial ray為參考ray。在field curvature plot的訊息也可從rayfans中得知，為field curvature plot是正比于在rayfan plot中通過原點的斜率。
5XV|*O; v oQJ!h1 習作三：牛頓望遠鏡
D -d Tl2( %qB 你將學到：使用mirrors，conic constants，coordinate breaks，three dimensional layouts，obscurations。
e;g7Ek3n 牛頓望遠鏡是最簡單的矯正所有on-axis aberrations的望眼鏡。牛頓望遠鏡是利用一個簡單的parabolic mirror完美地矯正所有order的spherical aberration，因為我們只在optical axis上使用，除spherical aberration外并沒有其它的aberration。
%%N T m 假想要設計一個1000mm F/5的望遠鏡，我們需要一個具有2000mm的curvature及200mm的aperture。在surface 1即STO上的curvature項中鍵入-2000 mm，負號表示對object而言，其曲面為concave，即曲面對發(fā)光源而言是內彎的。在thickness項中鍵入-1000，負路表示光線沒有透過mirror而是反射回來，在Glass項中鍵入MIRROR，最后在System的General項中的aperture中鍵入200。
F?[1 m2 Wavelength選用0.550，field angel則為0�，F(xiàn)在看看spot diagram，你會看到一個77.6 microns RMS的spot diagram，而一個很方便估算image quality的方法就是在spot diagram的頂端上再superimpose一個Airy diffraction ring。從spot diagram的menu bar選擇Setting，在Show Scale上選”Airy Disk”，結果如圖Figure E3-1所示，你會發(fā)現(xiàn)和選”scale bar”的結果是一樣的。圖中所列的RMS spot size選”Airy Disk”為77.6 microns。光線并沒有diffraction-limited的原因是因為我們還沒有設定conic constant。先前我們設定的curvature的值為-2000只是定義一個球面，若要定義一個拋物面鏡，則在STO的Conic項中尚需鍵入-1，接下來Update spot diagram，你會看到”Airy ring”為一個黑圈，而光線則聚集在圈內中心上，RMS值為0。
\&b 9 可惜的是，成像的位置很不好，所謂的不好是它位于在入射光的路徑上，若你要看這個像的話，你的觀看位置剛好擋住入射光。改善的方法是在反射鏡的后面再放一個折鏡，fold mirror(后面是相對于成像點而言)。這個fold mirror相對于光軸的傾斜角度為45，把像往上提離光軸。因為進來的光束為200mm寬，因此成像平面至少在離光軸100mm的上方，如此”看”像的時候才不會擋住入射光。我們決定用200mm，而fold mirror離先前的反射鏡面為800mm，因為200+800=1000等于原先在STO上的thickness，即成像”距離”不變。操作如下，先把STO的thickness改為-800，然后在imagine plane前插入一個dummy surface，為何要插入dummy surface呢？又dummy surface是什么呢？dummy surface的目的只是在幫助我們把fold mirror的位置標示出來，本身并不具真實的光學鏡片意義，也不參予光學系統(tǒng)的任何”反應”，所以稱為dummy surface。怎么插入dummy surface呢？先在image plane前面插入一個surface，這個surface很快地就會被轉變成fold mirror，但是你不要自己在surface type處去改變它成為fold mirror，而是選Tools中的Add Fold Mirror，并在其”fold surface”處選”2”代表定義surface 2為fold mirror，完成后你將看到如Zemax P.31頁中LED的表�；蛟S你會問，表中surface type處在surface 2及4中皆為Coord Break，這又是什么？coordinate break surface是在目前的系統(tǒng)內定義一個新坐標系統(tǒng)，它總是用dummy surface的觀念用來作ray tracing的目的。而在描述此新坐標系統(tǒng)中，通常選用6個不同參數(shù)，即x-decenter，y-dencenter，tiltx，tilty，tiltz及一個flag來指示tilting或decentration的order。
@JGFG+J} 要注意的是，coordinate break總是相對于”current”而”global”的coordinate system，即只是在一個系統(tǒng)內部，若要改變某樣對象的位置或方向，我們即利用coordinate break來作此對象的區(qū)域調整，而不用重新改變所有的系統(tǒng)各部份。Coordinate break就像是一個平面指向調整后的局部系統(tǒng)的方位。然而coordinate break surface絕不會顯示出來。而它的glass項中顯示為”-“代表不能鍵入，而它的surface type型式一定跟它前一面鏡的glass type一致。現(xiàn)在我們來看看layout，不能選2D(2D只能看rotational symmetric systems)，要用3D看，叫出layout后，按↑↓ 或page down or up可以看三維效果，這個設計尚可再作改善，首先入射光打到fold mirror背后的部份可以vignetted，這在實際的系統(tǒng)中是一個很重要的思量。在STO的前面插入一個surface，令這個surface的thickness為900，在surface type中的Aperture Type還為”Circular Obscuration”，在Max Radius鍵入40，因為fold mirror的semi-diameter為31，如此才能遮蔽。Update 3D layout，如看不到像Figure E3-3的圖，則在3D layout的setting項中改變the first surface和the last surface分別為1及6即可。
)/)[}wN;j Em !%3C1r 習作四：帶有非球面矯正器的施密特—卡塞格林系統(tǒng)
p6V#!5Q Schmidt-Cassegrain和aspheric corrector
5z =}o/? OTl9MwW 你將學到：使用polynomial aspheric surface, obscurations, apertures, solves, optimization, layouts, MTF plots.
Wf^ sl 本習作是完成Schmidt-Cassegrain及polynomial aspheric corrector plate。這個設計是要在可見光譜中使用。我們要一個10inches的aperture和10inches的back focus。開始設計之初，先把primary corrector System, General, 在aperture value中鍵入10，同在一個screen把unit”Millimeters”改為”Inches”。再來把Wavelength設為3個，分別為0.486，0.587，0.656，0.587定為primary wavelength。你可以在wavelength的screen中按底部的”select”鍵，即可完成所有動作。目前我們將使用default的field angle value，其值為0。依序鍵入如Zemax P.33頁的starting prescription for schmidt cassegrain的LDE表，此時the primary corrector為MIRROR球鏡片。你可以叫出2D layout，呈現(xiàn)出如Figure E4-1之圖�，F(xiàn)在我們在加入第二個corrector，并且決定imagine plane的位置。鍵入如Zemax P.33 Intermediate prescription for schmide cassegram的LDE，注意到primary corrector的thickness變?yōu)?18，比原先的-30小，這是因為要放second corrector并考慮到其size大小的因素。在surface4的radius設定為variable，透過optimization, Zemax可以定下他的值。先看看他的layout，應如Figure E4-2所示。叫出merit function, reset后，改變”Rings” option到5。The rings option決定光線的sampling density, default value為3，在此設計，我們要求他為5。執(zhí)行optimization, 用Automatic即可，你會發(fā)現(xiàn)merit function的值為1.3，不是很理想。這是residual RMS wave error所致。跳出merit function,從system中選Update All,則secondary corrector的radius已變成41.83。從Analysis, fans,中選Optical Path, OPD plot如Figure E4-3所示，發(fā)現(xiàn)其為defocus且為spherical,大概約有4個wave aberration需要矯正。
@T:J< , 現(xiàn)在切入另一個主題，利用指定polynomial aspheric cofficients來作aspheric correction。改變surface 1的surface type從standard改為”Even Asphere”，按OK后跳出，回到surface 1 列中，往右移直到4th Order Term, 把此項設為變數(shù)，依法炮制，6th, 8th,后再次執(zhí)行optimization。把OPD plot update,其圖應如Figure E4-4所示，你會發(fā)現(xiàn)spherical aberration已被大大地減少。小心一點的觀察，不同的三個波長其相對的aberration有不同的spherical amount, 這就是spherichromatism,是下一個要矯正的目標。依據(jù)經(jīng)驗所得，我們要用axial color來矯正spherochromatism,何謂axial color balance呢？而實際上spherochromatism是在first order axial color中被忽略的higher order效應。而現(xiàn)在first order axial color并不存在，如果first order存在的話，代表其效應（首先axial color既是指軸而言，他即表示paraxial-optics,即不同color在軸上的效應，也就是first order optics）要遠大于higher order, 即higher order的aberration會被balance掉，即first order會搶higher order的aberration, 用first order axial color來消除higher order的spherochromatism這是在光學設計上常用的手法。
l V$CBS 要怎么引進axial color呢？我們改變surface1的curvature來達到axial color的效果。把曲面1的radius設為variable,執(zhí)行optimization，再看看update后OPD plot圖，如圖E4-5所示，這就是我們所要設計的，殘余的像差，residual aberration小于1/20波長，這個良好結果，可以讓我們些微改變field angle,從system, field中，把field angle的值設為3個，分別是0.0, 0.3, 0.5�，F(xiàn)在field angle已改變，等于boundary condition已改變，所以你需要復位你的merit function。把merit function的”Rings”改變?yōu)椤?”后跳出執(zhí)行optimization, 則新的OPD plot應如圖E4-6所示，雖有不同的field angle,但是所有的aberrations卻可以接受。說明此設計還不錯。
4EmdQn 假想我們要用此望遠鏡來照相，則這組望遠鏡的鑒別轉換功效為何？什么是鑒別轉換功效（Modulation Transfer Function）呢？這就是說，若是發(fā)光物Object的鑒別率為M0，而經(jīng)過此望遠鏡后所得到的鑒別率是Mi，則MTF＝Mi/ M0即MTF愈大，代表此望遠鏡較不會降低原有的鑒別率，也就比較不會失真。而MTF的橫軸為spatial frequency in cycles per millimeter, spatial為鑒別尺（bar target）明暗條紋中其分隔空間寬度之意，通常以millimeter為單位，而frequency in cycles即每millimeter有幾組明暗條紋，所以可鑒別最小刻度，即反應該光波的頻率。Modulation Transfer Function，即呈現(xiàn)如圖E4-7所示之圖，而tangential & sagittal對各種入射光field angle的response也一并顯示。
z%#-2&i 對一個有經(jīng)驗的設計者而言，此設計所呈現(xiàn)的MTF為circular pupil autocorrelation的結果。這是我們尚未考慮the secondary corrector所帶來遮蔽效應。既然secondary corrector放在primary的前面中心位置上，則入射光一定有部分被擋住，并且在primary上有個洞把成像的光放出去，此洞也需納入考量，所以我們高估了我們的performance。改良如下，回到LDE，在曲面3的第一項中點兩下，從Aperture types中選Circular Aperture，在Min Radius中鍵入1.7，即入射光離光軸的半徑需大于1.7才可進入，此動作再處理primary上的洞，同時把Max Radius改為6。再來處理secondary corrector的obscuration，在surface 3的前面，插入一個surface這個new surface就變成了surface 3，把其thickness改為20，且surface 2的thickness改為40，如此20+40＝60并不改變光從BK7后到primary的長度。調整surface 3的Aperture type，設定為Circular Obscuration。把Max Radius訂為2.5，按OK后跳出，同時設定surface 3的semi-diameter也是2.5，update后的MTF，你會發(fā)現(xiàn)performance已降低，特別是在medial spatial frequencies部分。
zXD/hM [$; cjys 習作五：多重結構配置的激光束擴大器
a t4JLbk multi-configuration laser beam expander
b $yIM 8d_J9Ho 你將學到：使用multi-configuration capability。
r8? p6E 假設你需要設計一個在波長λ＝1.053μ下操作的laser beam expander，Input diameter為100mm，而output diameter為20mm，且Input 和output皆為collimated。在此設計之前，我們必須遵守下列設計條件，
Yxbg _RQm 只能使用2個鏡片
|L`U2.hb 本設計在形式上必須是Galilean（沒有internal focus）
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