我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
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?-M 1.簡介
lFa02p0 e@c0Wl Wa 物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速
物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
JQ}$Aqk W^fuScG)c 2.理論
E8>Ru i@9 2.1 場的表征：提取二次相位
h lkn% .nG#co"r}3 我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號
對應(yīng)6個場分量，也就是V = (E, H)：
q+P|l5_
t T~QWRBO =Qh\D 
(1)
Fp@TCPe# 在公式1中，我們假設(shè)場
有兩部分：
衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場
。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
NxjB/N
N U|d 
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場
比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。
D-8O+.@ k spTp>~ 2.2.半解析傅里葉變換
Uh7v@YMC }~#pEX~j* 從卷積定理可知：
Sczc5 FG _8"O$w 
(3)
O_$ m!5ug 通常來說，項
必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)
角度[2]我們可知：
y |CP;:f; f-}[_Y%; 
(4)
)A!>=2M ` 適用于任何復(fù)
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
QF{4/y^j{ 在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來：
iOwx0GD.n 
(5)
其中：
$SM# < @ 
(6)
其中常數(shù)項
。
MxWy*|J} 將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)
可以表示為：
k:JrHBKv\ 
(7)
其中：
/E
Bo3` 
(8)
這里，
和坐標項
。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。
u
