光學(xué)鏡片加工過程中不可避免會帶有一些面型的誤差——實際的和設(shè)計值總有一點區(qū)別。如何分析這些面型不規(guī)則度誤差對光學(xué)性能帶來的影響，我們來整理一些不同的情況。注意，本文只涉及面型不規(guī)則度公差，而不涉及其他的偏心旋轉(zhuǎn)定心等公差因素。
QK<sibDI .%<oy"_ 首先我們把面型不規(guī)則都分為空間頻率的中低頻和高頻，對于高頻面型誤差，不規(guī)則的尺度明顯小于
波長（往往是表面劃傷帶來的），這種情況下實在沒有什么太好的方式來精細(xì)地
模擬光線行為。原則上這種尺度下幾何光學(xué)已經(jīng)不適用，而物理光學(xué)的計算量不可接受。我們可以把高頻面型誤差帶來的行為統(tǒng)一用表面散射來表征，或者有時候直接認(rèn)為光線丟失。至于用哪種散射模型，散射程度如何，則可以通過實測來搞定。
E< "aUnI YTpSR~!Rj 為了規(guī)范說明什么是中低頻或者高頻面型不規(guī)則度，我們得引入一個重要的概念PSD（Power Spectral Density，功率譜密度），它本質(zhì)上是把面型數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，并繪制出頻域譜，有點像
成像光學(xué)里的MTF，PSD是對面型上不同頻率“強(qiáng)度分布”的描述。
o*eU0 $SRpFz5y$ 回到中低頻表面不規(guī)則度，這往往是由拋光工藝造成的，也是絕大多數(shù)應(yīng)用場景下需要著重考慮的。我們先來看看知名
光學(xué)設(shè)計軟件Zemax是怎么處理的。
8n?qm96 R5NDT4QYU 對于
標(biāo)準(zhǔn)面(Standard)，Zemax可以用TIRR公差操作數(shù)來增加表面不規(guī)則度。
_N$3c<dY' ~dC)EG 為了幫助理解后臺
原理，此處非常推薦的一個Zemax操作是，設(shè)定好上面這個面型公差后，運行蒙特卡洛
公差分析，并且把蒙特卡洛文件保存下來。
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2 我們打開保存下來的蒙特卡洛文件，可以看到原來的Standard面變成了Irregular面，而這個Irregular面型上是可以指定一些球差和像散的。軟件用人為增加球差和像散來表征表面不規(guī)則度。
Z K 1d3 Yw"o_ 顯然這種做法有很大的局限性。只針對球面增加非常低頻的，不夠隨機(jī)的誤差，這是不夠的。
2HoTj| 9TBkVbqV 應(yīng)用更廣泛的是TEXI和TEZI操作數(shù)，它們都可以產(chǎn)生真正隨機(jī)的表面不規(guī)則度，而且可以應(yīng)用在非球面上。這兩個操作數(shù)很像，我們可以重復(fù)上述保存蒙特卡洛文件的做法來觀察TEXI和TEZI是如何起效的。前者把非球面變成Zernike Fringe Sag，后者變成Zernike Standard Sag。另外TEZI對Toroidal面型也適用。很重要的一個區(qū)別點在于，在公差數(shù)據(jù)編輯器里前者指定的是面型不規(guī)則度PV值，而后者是RMS值。由于Zemax官方更推薦TEZI，我們這里的說明僅針對TEZI。
Bab`wfUve fA m^-uq[ 這種方式造成的面型不規(guī)則度有足夠的隨機(jī)性，還能通過控制Zernike系數(shù)的最高最低階來控制不規(guī)則度空間頻率。顯然，階數(shù)越高，空間頻率越大。
SGre[+m~m G`9Ud 這里借著TEZI，我們對于業(yè)界常見的一種公差表達(dá)形式ISO10110 A(B/C)來進(jìn)行一下說明。A(B/C)是一種生產(chǎn)上比較常見的對旋轉(zhuǎn)對稱(Rotational Symmetrical Irregularity, RSI)面型公差的表征方式。先來做一下名詞解釋：
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- A：由于曲率半徑公差導(dǎo)致的“光圈”（干涉條紋, Fringe）數(shù)目。這個很普通
f)l:^/WP+ UX;?~X - B：面型不規(guī)則度PV值�？梢杂煤蚑EZI類似的隨機(jī)Zernike項來表征，但是需要保證符合PV要求。自行指定用到的Zernike最高、最低階數(shù)，一般建議可以到37階，即ρ^8階
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}=fJ - C：旋轉(zhuǎn)對稱的(RSI)面型不規(guī)則度PV值。這部分可以用Zernike項里僅含常數(shù)、ρ^4、ρ^6、ρ^8、ρ^10等的項目來表征，同時也要保證符合PV要求。在Zernike項中RSI項，自行指定最高、最低階數(shù)，一般建議可以到ρ^10階
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$'# 8 復(fù)雜的地方來了，B和C是耦合在一起的PV_C是PV_B的一部分。如果要用軟件分析A(B/C)公差的話，得對隨機(jī)選取PV_C的值，不超過PV_B，并且隨機(jī)給選定的Zernike的RSI項隨機(jī)賦值，對整體的PV縮放到PV_C。下一步給所有選取的Zernike項隨機(jī)賦值，并對整體PV縮放到PV_B – PV_C的值。
M' e<\wqm iagl^(s 這個流程任何商業(yè)光學(xué)軟件都不會有自帶的工具，建議通過Zemax強(qiáng)大的API接口自行開發(fā)。
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n#` ~ P"@^cq 對于RSI的公差，有一種比較特殊的應(yīng)用場景也值得單獨說一說，即單點金剛石車削后留下的環(huán)狀表面條紋。這種公差基本上是一些同心圓，且空間頻率不變，維持在一個中頻。在模擬上，我們可以在已有的面型上增加一個以cos函數(shù)變化的矢高波動。這個面型在新版Zemax里面已經(jīng)自帶有了。
~m8" .Z" Zy|B~.@<j 這種形態(tài)的表面公差不僅會影響成像質(zhì)量，這也是攝影中焦外bokeh“洋蔥圈”問題的根本來源。
9+ nB;vA C$(U S8:{ 以上是針對球面非球面的面型公差，那么對于自由曲面要怎么辦呢？Zemax軟件是沒有自帶的工具的，不過做也是可以做的：
x^Q:U 1 aY}:9qBice - 有解析式時，增加一個擾動項
<{ GpAf8- nICc}U?k 比如Zernike Standard Sag面型的矢高公式后面可以增加一個產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的擾動項，這樣即可以模擬出各個位置的隨機(jī)擾動，當(dāng)然需要自己寫個帶隨機(jī)項目的DLL。
r@ujE,D=k ~7+7{9g - 無解析式時（也可以應(yīng)用于有解析式的情形），格點化后擾動
Xyy;BO : H C(Vu 這里的意思是，任何一個自由曲面一定都可以用格點矢高來表征，我們可以把每個格點上的矢高添加一個人為的擾動，比如±0.5%，靠近邊緣處±1%，然后把擾動后的面型添加回Zemax做分析，甚至可以把擾動后的面型重新擬合回解析式。這個作業(yè)流程比較復(fù)雜，也沒有現(xiàn)成工具，同樣十分建議通過API來做。
FeoI+K A r&oR|-2hRk 我們當(dāng)然也可以把自由曲面的這兩種公差分析方式移植到球面和非球面上。
[Go p-Vi/~ b c=,$ 上面這些方法都是對各種表面面型進(jìn)行直接的公差分析，但有的時候，沒有機(jī)會直接分析面型，那么可以通過分析面型差異帶來的等效相位改變來分析公差。我們可以拿一個Zernike相位面和需要做公差的表面貼合到一起，然后寫個API或ZPL程序來擾動相位面上的系數(shù)，并且縮放到目標(biāo)RMS或PV大小。當(dāng)然相位面的起伏擾動也是可以轉(zhuǎn)化為實際表面的矢高變化的。
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