文獻(xiàn)作者：Michael Kuhn, Frank Wyrowski, and Christian Hellmann
. KzU7 文獻(xiàn)來源： Non-sequential Optical Field Tracing. Advanced Finite Element Methods and Applications. Springer Berlin Heidelberg, 2013:257-273.
2:Q2w3 Xe j un$C Y4 摘要 P a\"l'!>^ L{AfrgN 通過考慮諧波場而非
光線，光場追跡法對光線追跡法進(jìn)行了概括推廣。光場追跡法可以容許位于系統(tǒng)不同子區(qū)域的不同的建模技術(shù)進(jìn)行無縫連接�；诜纸夂突ヂ�(lián)的理念，這篇文章介紹了非序列場追跡的基本概念，同時推導(dǎo)出了相應(yīng)的算子方程組和一個求解公式用于仿真。對問題的求值需要局部麥克斯方程的解（分解）；并且隨著迭代過程的收斂實現(xiàn)解決方案在通過界面處的連續(xù)性（互聯(lián)）。通過使用引入的一種新的光路樹算法，對需要求解的局部問題的數(shù)量進(jìn)行
優(yōu)化。最后，我們展示了一些選擇局部麥克斯韋方程組的案例和數(shù)值結(jié)果。
t73" d#+ ! p|d[ 1. 簡介 Q \[2BJo/ n0%]dKCB 現(xiàn)代
光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計需要高級模擬技術(shù)。通常，仿真過程中需要在時域或者頻域中求解麥克斯韋方程組。即使這些方程的解決方案已經(jīng)在過去數(shù)十年被廣泛的討論，使用比如有限元法（FEM），但由于以下主要原因，其在光學(xué)領(lǐng)域仍然非常具有挑戰(zhàn)性：（1）感興趣的波長一般在1微米以下，有時甚至在100納米之下，（2）一個系統(tǒng)中的長度量級可能在
納米和米之間變化。應(yīng)用波長532納米（綠光）的標(biāo)準(zhǔn)
激光系統(tǒng)，使用特征尺寸僅有幾微米的結(jié)構(gòu)界面并且需要在一個系統(tǒng)中與數(shù)厘米或者米的結(jié)構(gòu)一同模擬。這表明物理光學(xué)模擬，例如，使用標(biāo)準(zhǔn)的有限元法，如今在標(biāo)準(zhǔn)計算機上并不可行。
vSG$ 2g= 7!%xJ! 另一方面，大部分
光學(xué)系統(tǒng)可以通過使用近似的方法，實現(xiàn)足夠精確的模擬。尤其是光線追跡方法在光學(xué)模擬中得到了廣泛的使用。幾款基于光線追跡方法的商業(yè)工具在二十世紀(jì)八十年代隨著個人電腦技術(shù)的新興便已確立。然而，光線追跡方法有一些嚴(yán)重的限制，例如，當(dāng)系統(tǒng)中存在微結(jié)構(gòu)時，其便會失效。
6-h(305A I`FqZw 這就是我們引入場追跡的原因[6,12]。場追跡將一個光學(xué)系統(tǒng)分解成子域。與光線追跡相比，場追跡是計算通過系統(tǒng)的電磁諧波場。在實際應(yīng)用中，此方法具有三個基本的優(yōu)勢：（1）場追跡法統(tǒng)一光學(xué)建模。其概念允許我們在系統(tǒng)的不同子域中應(yīng)用任何表述矢量諧波場的技術(shù)。（2）應(yīng)用矢量諧波場作為場追跡的基礎(chǔ)，為
光源建模提供了極大的便利性。通過讓諧波場集在系統(tǒng)中傳輸，可以研究部分時間和空間相干光源以及超短脈沖[9]。（3）在系統(tǒng)建模和設(shè)計中，探測器函數(shù)的任意類型評價非常重要。使用矢量表述諧波場，能夠自由的獲取所有的場
參數(shù)，因此能夠引入和評估任意類型的探測器。在場追跡中，通過求解局部麥克斯韋問題以計算各子域。這些局部問題具有這樣的屬性：能夠在所有容許函數(shù)的子空間中產(chǎn)生解。此外，近似的麥克斯韋求解器足夠精確且比嚴(yán)格的麥克斯韋求解器更高效。從這個意義上來說，我們調(diào)整了“域分解以及分解和互聯(lián)”方法的主要理論，而這些方法已經(jīng)被使用在許多應(yīng)用中，參考引用文獻(xiàn)[3]和[4]。場追跡的目標(biāo)是通過聯(lián)合不同的子域求解器，在保證計算精度的情況下，盡可能快的構(gòu)筑出一個針對問題的求解器。通過施加連續(xù)條件，將局部解進(jìn)行耦合以求解全局問題。為了這個目的，我們希望將那些在光學(xué)中已經(jīng)完善建立的追跡技術(shù)普遍化。文獻(xiàn)[12]著重介紹了序列情況。此處我們希望將此理論擴(kuò)展到非序列情況中并增加更多的描述求解器的算法模塊。這篇文章展示了如何進(jìn)行將分解和互聯(lián)進(jìn)行應(yīng)用。
jxNnrIA 這篇文章結(jié)構(gòu)如下。在第二部分，我們討論了局部麥克斯韋求解器的定義。我們描述了如何使用分解和互聯(lián)的方法來闡述3D麥克斯韋問題�；谥Z依曼級數(shù)推導(dǎo)出來的使用局部算子的解公式導(dǎo)致一個無窮求和。通過使用一個修訂的公式，可以將求和作為一個迭代過程進(jìn)行重構(gòu)，這個公式將在第三部分討論。算法本身可以歸結(jié)為一個光路邏輯樹。應(yīng)用場追跡方法求解局部問題將在第四部分討論。最后，我們將在第五部分呈現(xiàn)數(shù)值結(jié)果并在第六部分進(jìn)行總結(jié)。
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ls| 2.分解和互聯(lián)方法 sAfNu~d u Q'I zdm 光學(xué)系統(tǒng)建模主要是求解麥克斯韋方程組以在R
3中獲得電場E和磁場H。麥克斯韋方程組的頻域表示如下
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"$rmy>d Ht=h9}x"g 對于線性物質(zhì)方程和各向同性介質(zhì)。系統(tǒng)的折射率n ̂(r)是非均勻的，并且定義如下：
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g6~B|?! ，其中r=(x,y,z)。各頻譜w的解是一個電磁諧波場，它是由三個電場分量和三個磁場分量決定的。在光學(xué)系統(tǒng)建模中，求解系統(tǒng)域Ω中所有場的分量是一個最普遍待解決的任務(wù)。
=E10j.r 為了簡化符號我們使用場矢量V來概述六個場方向：
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@eU5b63jM 19.oW49Sw l.`f^K=8 由麥克斯韋方程來看，很明顯六個場方向并不是獨立的。尤其是我們總是可以從電場矢量計算出磁場。然而我們使用場矢量V是為了強調(diào)模擬中必須包含了六個場分量，這為我們定義探測器提供了最大的靈活性，能夠方便的讓我們進(jìn)行光場性能評估。例如，在能量考慮方面，坡印廷矢量是非常實用的。其定義結(jié)合了磁場和電場。
|w w@V<'/# qrZ*r{3 圖1闡述了所關(guān)心的建模情景。系統(tǒng)位于域Ω⊂R
3中。J 個子域Ωj都處在折射率n ̂(r)中，其中r=(x,y,z)是非均勻的。我們使用Γj來表示各子域Ωj的邊界。
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